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    《线性代数》重难点解析与全真练习

    发布时间:2014-08-13 查看次数:2874 次

    第一章 行列式

    一、重点

    1、理解:行列式的定义,余子式,代数余子式。

    2、掌握:行列式的基本性质及推论。

    3、运用:运用行列式的性质及计算方法计算行列式,用克莱姆法则求解方程组。

    二、难点

    行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

    三、重要公式

    1、若A为n阶方阵,则│kA│= kn│A│

    2、若A、B均为n阶方阵,则│AB│=│A│。│B│

    3、若A为n阶方阵,则│A*│=│A│n-1

    若A为n阶可逆阵,则│A-1│=│A│-1

    4、若A为n阶方阵,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,│A│=∏λi

    四、题型及解题思路

    1、有关行列式概念与性质的命题

    2、行列式的计算(方法)

    1)利用定义

    2)按某行(列)展开使行列式降阶

    3)利用行列式的性质

    ①各行(列)加到同一行(列)上去,适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。

    ②各行(列)加或减同一行(列)的倍数,化简行列式或化为上(下)三角行列式。

    ③逐次行(列)相加减,化简行列式。

    ④把行列式拆成几个行列式的和差。

    4)递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式

    5)数学归纳法,多用于证明

    3、运用克莱姆法则求解线性方程组

    若D =│A│≠0,则Ax=b有唯一解,即

    x1=D1/D,x2= D2/D,…,xn= Dn/D

    其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

    注意:克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

    4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题

    1)当│A│=0时,齐次方程组Ax=0有非零解;非齐次方程组Ax=b不是唯一解(可能无解,也可能有无穷多解)

    2)当│A│≠0时,齐次方程组Ax=0仅有零解;非齐次方程组Ax=b有唯一解,此解可由克莱姆法则求出。

    一、重点

    1、理解:矩阵的定义、性质,几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵)

    2、掌握:

    1)矩阵的各种运算及运算规律

    2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

    3)矩阵的初等变换方法

    二、难点

    1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

    2、初等变换与初等矩阵的关系

    三、重要公式及难点解析

    1、线性运算

    1)交换律一般不成立,即AB≠BA

    2)一些代数恒等式不能直接套用,如设A,B,C均为n阶矩阵

    (A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

    (AB)2=(AB)(AB)≠A2B2

    (AB)k≠AkBk

    (A+B)(A-B)≠A2-B2

    以上各式当且仅当A与B可交换,即AB=BA时才成立。

    3)由AB=0不能得出A=0或B=0

    4)由AB=AC不能得出B=C

    5)由A2=A不能得出A=I或A=0

    6)由A2=0不能得出A=0

    7)数乘矩阵与数乘行列式的区别

    2、逆矩阵

    1)(A–1)–1=A

    2)(kA) –1=(1/k)A–1,(k≠0)

    3)(AB)–1=B–1A–1

    4)(A–1)T=(AT)–1

    5)│A–1│=│A│–1

    3、矩阵转置

    1)(AT)T=A

    2)(kA) T=kAT,(k为任意实数)

    3)(AB)T=BTAT

    4)(A+B)T=AT+BT

    4、伴随矩阵

    1)A*A=A A*=│A│I (AB)*=B*A*

    2)(A*)*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ,(n≥2)

    3)(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)*

    4)若r(A)=n,则r (A*)=n

    若r(A)=n-1,则r (A*)=1

    若r(A)

    5)若A可逆,则(A*)-1=(1/│A│)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=│A│A-1

    5、初等变换(三种)

    1)对调二行(列)

    2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素

    3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素

    注意:用初等变换①求秩,行、列变换可混用

    ②求逆阵,只能用行或列变换

    ③求线性方程组的解,只能用行变换

    6、初等矩阵

    1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

    2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换

    3)初等阵均可逆,且其逆为同类型的初等阵

    E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)

    7、矩阵方程

    1)含有未知矩阵的等式

    2)矩阵方程有解的充要条件

    AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示

    <==>r(A)=r(A┆B)

    四、题型及解题思路

    1、有关矩阵的概念及性质的命题

    2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)

    3、矩阵可逆的判定

    n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B,有AB=BA=I

    <==>│A│≠0

    <==>r(A)=n

    <==>A的列(行)向量组线性无关

    <==>Ax=0只有零解

    <==>任意b,使得Ax=b总有唯一解

    <==>A的特征值全不为零

    4、矩阵求逆

    1)定义法:找出B使AB=I或BA=I

    2)伴随阵法:A-1=(1/│A│)A*

    注意:用该方法求逆时,行的代数余子式应竖着写在A*中,计算Aij时不要遗漏(-1)i+j,当n>3时,通常用初等变换法。

    3)初等变换法:对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)

    4)分块矩阵法

    5、解矩阵方程AX=B

    1)若A可逆,则X=A-1B,可先求出A-1,再作乘法A-1B求出X

    2)若A可逆,可用初等变换法直接求出X

    (A┆B)初等行变换(I┆X)

    3)若A不可逆,则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组,然后对每列常数项分别求解。

    一、重点

    1、理解:向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出,极大线性无关组的概念,线性相关与线性无关的概念,向量组的秩的概念,矩阵的秩的概念及性质,基础解系的概念。

    2、掌握:向量的运算及运算规律,矩阵秩的计算,齐次、非齐次线性方程组解的结构。

    3、运用:线性相关、线性无关的判定,线性方程组解的判断,齐次、非齐次线性方程组的解法。

    二、难点

    线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

    三、重点难点解析

    1、 n维向量的概念与运算

    1) 概念

    2) 运算

    若α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T

    ①加法:α+β=(a1+b1 ,a2+b2 ,…,an+bn)T

    ②数乘:kα=(ka1,ka2,…,kan)T

    ③内积:(α。β)=a1b1+a2b2+,…,+anbn=αTβ=βTα

    2、线性组合与线性表出

    3、线性相关与线性无关

    1)概念

    2)线性相关与线性无关的充要条件

    ①线性相关

    α1,α2,…,αs线性相关

    <==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解

    <==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)<s (向量的个数)

    <==>存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出

    特别的:n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│=0

    n+1个n维向量一定线性相关

    ②线性无关

    α1,α2,…,αs线性无关

    <==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解

    <==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)=s (向量的个数)

    <==>每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出

    ③重要结论

    A、阶梯形向量组一定线性无关

    B、若α1,α2,…,αs线性无关,则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αi t必线性无关,它的任一延伸组必线性无关。

    C、两两正交,非零的向量组必线性无关。

    4、向量组的秩与矩阵的秩

    1)极大线性无关组的概念

    2)向量组的秩

    3)矩阵的秩

    ①r(A)=r(AT)

    ②r(A+B)≤r(A)+r(B)

    ③r(kA)=r(A),k≠0

    ④r(AB)≤min(r(A),r(B))

    ⑤如A可逆,则r(AB)=r(B);如B可逆,则r(AB)=r(A)

    ⑥A是m×n阵,B是n×p阵,如AB=0,则r(A)+r(B)≤n

    4)向量组的秩与矩阵的秩的关系

    ①r(A)=A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)=A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)

    ②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

    ③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。特别的,等价的向量组有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。

    5、基础解系的概念及求法

    1)概念

    2)求法

    对A作初等行变换化为阶梯形矩阵,称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元),那么剩于的其他未知数就是自由变量(共有n- r(A)个),对自由变量按阶梯形赋值后,再带入求解就可得基础解系。

    6、齐次方程组有非零解的判定

    1)设A是m×n矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关。

    2)若A为n阶矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0

    3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数<未知数个数

    7、非齐次线性方程组有解的判定

    1)设A是m×n矩阵,Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩,即r(A)=r(A增)

    2)设A是m×n矩阵,方程组Ax=b

    ①有唯一解<==> r(A)=r(A增)=n

    ②有无穷多解<==> r(A)=r(A增)

    ③无解<==> r(A)+1=r(A增)

    8、非齐次线性方程组解的结构

    如n元线性方程组Ax=b有解,设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的一个解,则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。

    1)若ξ1,ξ2是Ax=b的解,则ξ1-ξ2是Ax=0的解

    2)若ξ是Ax=b的解,η是Ax=0的解,则ξ+kη仍是Ax=b的解

    3)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解;反之,当Ax=0只有零解时,Ax=b没有无穷多解(可能无解,也可能只有唯一解)

    四、题型及解题思路

    1、有关n维向量概念与性质的命题

    2、向量的加法与数乘运算

    3、线性相关与线性无关的证明

    1)定义法

    设k1α1+k2α2+…+ksαs=0,然后对上式做恒等变形(要向已知条件靠拢!)

    ①由B=C可得AB=AC,因此,可按已知条件的信息对上式乘上某个A

    ②展开整理上式,直接用已知条件转化为齐次线性方程组,最后通过分析论证k1,k2,…,ks的取值,得出所需结论。

    2)用秩(等于向量个数)

    3)齐次方程组只有零解

    4)反证法

    4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

    多用初等变换法,将向量组化为矩阵,通过初等变换来求解。

    5、求矩阵的秩

    常用初等变换法。

    6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组


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